Question

若函數(shù)滿足：集合中至少存在三個不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)是等比源函數(shù).

（Ⅰ）判斷下列函數(shù)：①；②；③中，哪些是等比源函數(shù)？（不需證明）

（Ⅱ）判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）證明：，函數(shù)都是等比源函數(shù).

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）①②③（Ⅱ）不是等比源函數(shù)（Ⅲ）略

【解析】

試題分析：（Ⅰ）①是等比源函數(shù)，例：當時，；當時，；當時，。1、4、16成等比。②是等比源函數(shù)，例：當時，；當時，；當時，。成等比。③是等比源函數(shù)，例：當時，；當時，；當時，。1、2、4成等比數(shù)列。（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)是等比源函數(shù)，即存在正整數(shù)且，使得成等比數(shù)列，根據(jù)等比中項列出式子，再推理論證得出矛盾。（Ⅲ）根據(jù)可推導(dǎo)出為首項為正整數(shù)公差也為正整數(shù)的等差數(shù)列。假設(shè)（）整理得當時說明假設(shè)成立，即函數(shù)值中存在三個不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列。

試題解析：（Ⅰ）①②③都是等比源函數(shù).                        3分

（Ⅱ）函數(shù)不是等比源函數(shù).                          4分

證明如下：

假設(shè)存在正整數(shù)且，使得成等比數(shù)列，

，整理得，       5分

等式兩邊同除以得.

因為，所以等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，

所以等式不可能成立，

所以假設(shè)不成立，說明函數(shù)不是等比源函數(shù).        8分

（Ⅲ）法1：

因為，都有，

所以，數(shù)列都是以為首項公差為的等差數(shù)列.

，成等比數(shù)列，

因為，

，

所以，

所以，函數(shù)都是等比源函數(shù).             13分

（Ⅲ）法2：

因為，都有，

所以，數(shù)列都是以為首項公差為的等差數(shù)列.

由，（其中）可得

，整理得

，

令，則，

所以，

所以，數(shù)列中總存在三項成等比數(shù)列.

所以，函數(shù)都是等比源函數(shù).             13分

考點：新概念問題，考查分析能力、對所學(xué)知識的綜合運用能力及論證推理能力。