【題目】（1）若動點到定點的距離與到定直線：的距離之比為，求證：動點的軌跡是橢圓；

（2）設(shè)（1）中的橢圓短軸的上頂點為，試找出一個以點為直角頂點的等腰直角三角形，并使得、兩點也在橢圓上，并求出的面積；

（3）對于橢圓(常數(shù))，設(shè)橢圓短軸的上頂點為，試問：以點為直角頂點，且、兩點也在橢圓上的等腰直角三角形有幾個？

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】

（1）假設(shè)動點坐標,利用條件,建立等式,化簡可判斷動點的軌跡;

（2）根據(jù)條件可知,,應(yīng)是關(guān)于軸對稱,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,從而可求 長,故可求面積;

（3）與（2）相同的求法,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,求,的長,利用即可得出答案.

（1）動點到定點的距離與到定直線：的距離之比為

，化簡可得:， 動點的軌跡是橢圓.

（2） 橢圓方程為,

又 等腰直角三角形是以為直角頂點，

不妨設(shè)點在軸左側(cè),則點在軸右側(cè)，

若直線、關(guān)于軸對稱且該三角形為等腰直角三角形，可取，則，

,,

聯(lián)立橢圓方程和直線方程可得:，

消掉:可得:，解得

故,可得

根據(jù)兩點間距離公式可得:

等腰直角三角形是以、為直角邊,

；

（3）橢圓方程為,，設(shè),

聯(lián)立橢圓方程和直線方程可得:，

消掉可得:, 解得，

又 根據(jù)弦長公式可得:，

同理可得，

， ，

化簡可得: ,即:，

可得或

當且，即時,有三個解,即這樣的三角形有個；

當時，即當時，方程為，解得，這樣的三角形只有個；

當時，即當時，只有一個解,即這樣的三角形有個.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域是，且，，當時，.

（1）判斷的奇偶性，并說明理由；

（2）求在區(qū)間上的解析式；

（3）是否存在整數(shù)，使得當時，不等式有解？證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過雙曲線的右支上的一點P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點，其中P是的中點；

（1）求雙曲線的漸近線方程；

（2）當P坐標為時，求直線l的方程；

（3）求證：是一個定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列前項和為

(1)若首項,且對于任意的正整數(shù)均有,(其中為正實常數(shù)),試求出數(shù)列的通項公式.

(2)若數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,首項為,為給定的正實數(shù),滿足:①,且②對任意的正整數(shù),均有;試求函數(shù)的最大值(用和表示)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)為實數(shù)，函數(shù)．

（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）若，求函數(shù)的最小值；

（3）對于函數(shù)，在定義域內(nèi)給定區(qū)間，如果存在，滿足，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，是它的一個“均值點”．如函數(shù)是上的平均值函數(shù)，就是它的均值點．現(xiàn)有函數(shù)是區(qū)間上的平均值函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率，若橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一動點和，組成的面積最大為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若存在直線：和橢圓相交于不同的兩點，，且原點與，連線的斜率之和滿足：.求直線的斜率的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x+1|（a∈R），g（x）＝|2x﹣1|+2.

（1）若a＝1，證明：不等式f（x）≤g（x）對任意的x∈R成立；

（2）若對任意的m∈R，都有t∈R，使得f（m）＝g（t）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過圓的圓心，且右焦點與拋物線的焦點重合.

（1）求橢圓的方程;

（2）過點作直線交橢圓于，兩點，若，求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】冬季歷來是交通事故多發(fā)期，面臨著貨運高危運行、惡劣天氣頻發(fā)、包車客運監(jiān)管漏洞和農(nóng)村交通繁忙等四個方面的挑戰(zhàn).全國公安交管部門要認清形勢、正視問題，針對近期事故暴露出來的問題，強薄羽、補短板、堵漏洞，進一步推動五大行動，鞏固擴大五大行動成果，全力確保冬季交通安全形勢穩(wěn)定.據(jù)此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于交通道路安全情況的調(diào)查，通過調(diào)查年齡在的人群，數(shù)據(jù)表明，交通道路安全仍是百姓最為關(guān)心的熱點，參與調(diào)查者中關(guān)注此類問題的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查并關(guān)注交通道路安全的人群中隨機選出100人，并將這100人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求這100人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）；

（2）現(xiàn)在要從年齡較大的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行問卷調(diào)查，求第2組恰好抽到1人的概率；

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案