Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2sint\\ y=2cost\end{array}\right.，（t為參數(shù)）$，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，A（2，0）
（Ⅰ）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ） AP是圓C上動(dòng)弦，求AP中點(diǎn)M到l距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ） 設(shè)P（2cosα，2sinα），則M（cosα+1，sinα），利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求線段AP的中點(diǎn)M到直線l的距離的最小值．

解答 解：（Ⅰ）消去參數(shù)得，圓C的普通方程得x²+y²=4． 直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0；
（Ⅱ）設(shè)P（2cosα，2sinα），則M（cosα+1，sinα），
∴d=$\frac{|cosα+sinα-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{2}sin（α+45°）-3|}{\sqrt{2}}$，
∴最小值是$\frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}-2}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．