Question

18．已知首項為1的正項數(shù)列{a_n}滿足a_k+1=a_k+a_i（i≤k，k=1，2，…，n-1），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．
（1）比較a_i與1的大小關系，并說明理由；
（2）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，求$\frac{S_6}{a_3}$的值；
（3）求證：$\frac{1}{2}n（{n+1}）≤{S_n}≤{2^n}-1$．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的單調性即可比較a_i與1的大小關系．
（2）利用遞推關系、等比數(shù)列的通項公式即可得出$\frac{S_6}{a_3}$的值．
（3）利用“累加求和”與不等式的性質即可證明：$\frac{1}{2}n（{n+1}）≤{S_n}≤{2^n}-1$．

解答 解：（1）∵首項為1的正項數(shù)列{a_n}滿足a_k+1=a_k+a_i（i≤k，k=1，2，…，n-1），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．
∴a_k+1-a_k=a_i＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n-1），
∴數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，即1＜a₂＜a₃＜…＜a_n．
∴a_i＞1（i≤k，k=1，2，3，…，n-1）．
（2）∵a₂-a₁=a₁，∴a₂=2a₁；
∵{a_n}是等比數(shù)列，∴數(shù)列{a_n}的公比為2．
∵a_k+1-a_k=a_i（i≤k，k=1，2，3，…，n-1），
∴當i=k時有a_k+1=2a_k．
這說明在已知條件下，可以得到唯一的等比數(shù)列．
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．∴{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴$\frac{S_6}{a_3}$=$\frac{\frac{1-{2}^{6}}{1-2}}{1×{2}^{3-1}}$=$\frac{63}{4}$．
證明：（3）∵1=a₁=1，2=a₂=2，3≤a₃≤2²，4≤a₄≤2³，…，n≤a_n≤2^n-1，
由上面n個式子相加，得到：1+2+3+…+n≤a₁+a₂+a₃+…+a_n≤2⁰+2¹+2²+…+2^n-1，
化簡得$\frac{n（n+1）}{2}$＜a₁+a₂+a₃+…+a_n）＜2ⁿ-1，
∴$\frac{1}{2}n（{n+1}）≤{S_n}≤{2^n}-1$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系的應用、“累加求和”、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．