Question

18．已知雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F，直線(xiàn)x=$\frac{a^2}{c}$與其漸近線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，且△ABF為直角三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用直線(xiàn)x=$\frac{a^2}{c}$與其漸近線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，求出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)△ABF為直角三角形，建立方程，求出雙曲線(xiàn)的離心率．

解答 解：∵直線(xiàn)x=$\frac{a^2}{c}$與其漸近線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（$\frac{a^2}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（$\frac{a^2}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
∵△ABF為直角三角形，
∴c-$\frac{a^2}{c}$=$\frac{ab}{c}$，
∴a=b，
∴c=$\sqrt{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定A，B的坐標(biāo)是關(guān)鍵．