Question

4．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)右焦點(diǎn)F₂且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△F₁AB為等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 聯(lián)立方程求出A，B的坐標(biāo)，結(jié)合△F₁AB為等邊三角形，建立方程關(guān)系，進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x=c時(shí)，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
則y²=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，則y=±$\frac{^{2}}{a}$，
則A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$），F(xiàn)₁（-c，0），
∵△F₁AB為等邊三角形，
∴∠AF₁F₂=30°即可，
則tan∠AF₁F₂=tan30°=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}$=$\frac{^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即b²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ac，
則c²-a²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ac，
即c²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ac-a²=0，
則e²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$e-1=0，
得e=$\sqrt{3}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)條件求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的邊角公式是解決本題的關(guān)鍵．