Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（\frac{1}{2}）}^x}-1\;，\;x≤0}\\{-{x^2}+x\;，\;x＞0}\end{array}}$，則函數(shù)g（x）=f（log_ax）（其中0＜a＜1）的單調(diào)遞減區(qū)間是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [$\sqrt{a}$，1）
• D． （0，$\sqrt{a}$]

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則當x≤0或x≥$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當0＜x≤$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
設(shè)t=log_ax，則g（x）=f（t），
∵0＜a＜1，∴t=log_ax為減函數(shù)，
∴由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得要求函數(shù)g（x）的減區(qū)間，等價為求函數(shù)f（x）的增區(qū)間，
由0＜log_ax≤$\frac{1}{2}$，得$\sqrt{a}$≤x＜1，
即函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\sqrt{a}$，1），
故選：C

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．