Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，
（Ⅰ）求證：直線AM∥平面PNC；
（Ⅱ）在AB上是否存在一點E，使CD⊥平面PDE，若存在，確定E的位置，并證明，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求三棱錐C-PDA的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在PC上去一點F，使PF=2FC，連接MF，NF，證明FM∥DC，AN∥DC，推出$MF\stackrel{∥}{=}AN$．得到AM∥NA
然后證明直線AM∥平面PNC．
（Ⅱ）證明CD⊥DE．CD⊥PD，利用直線與平面垂直的判定定理證明CD⊥平面PDE．
（Ⅲ）說明DE為點A到平面PDC的距離，求出底面面積，利用等體積法求解幾何體的體積即可．

解答 （本小題共14分）
證明：（Ⅰ）在PC上去一點F，使PF=2FC，連接MF，NF，因為PM=2MD，AN=2NB，所以FM∥DC，$MF=\frac{2}{3}DC$，AN∥DC，AN=$\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}DC$，
所以$MF\stackrel{∥}{=}AN$．

所以MFNA為平行四邊形
即AM∥NA
又AM?平面PNC
所以直線AM∥平面PNC…．（5分）
（Ⅱ）因為E是AB中點，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，所以∠AED=90°
因為AB∥CD，所以，∠EDC=90°即CD⊥DE．
又PD⊥平面ABCD，所以CD⊥PD
又DE∩PD=D所以直線CD⊥平面PDE…（11分）
（Ⅲ）直線AB∥DC，且由（Ⅱ）可知，DE為點A到平面PDC的距離，${S_{△PDC}}=\frac{1}{2}PD•DC=\frac{9}{2}$，$DE=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，${V_{C-PDA}}={V_{A-PDC}}=\frac{1}{3}{S_{△PDC}}•DE=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．…．（14分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理與直線與平面平行的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查轉化思想以及空間想象能力計算能力．