Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³-2ax，若直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，則a的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 首先分析對任意的m直線x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線的含義，求出函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R）的導(dǎo)函數(shù)，使直線與其不相交即可．

解答 解：f（x）=x³-3ax（a∈R），則f′（x）=3x²-3a
若直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，則直線的斜率為-1，f（x）′=3x²-3a與直線x+y+m=0沒有交點，
又拋物線開口向上則必在直線上面，即最小值大于直線斜率，
則當(dāng)x=0時取最小值，-3a＞-1，
則a的取值范圍為a＜$\frac{1}{3}$
故答案為：（-∞，$\frac{1}{3}$）．

點評 此題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，以及函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的計算，屬于綜合性問題，計算量小但有一定的難度，屬于中等題．