Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=2，a _n+1=3a_n+2ⁿ，求通項(xiàng)．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對等式a_n+1=3a_n+2ⁿ變形可得a_n+1+2ⁿ⁺¹=3a_n+2ⁿ⁺¹+2ⁿ，進(jìn)而可得a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），由等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{a_n+2ⁿ}是以a₁+2¹=4為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而可得數(shù)列{a_n+2ⁿ}的通項(xiàng)公式，對其變形可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：根據(jù)題意，a_n+1=3a_n+2ⁿ，
則有a_n+1+2ⁿ⁺¹=3a_n+2ⁿ⁺¹+2ⁿ，
即有a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ）
又由a₁=2，則a₁+2¹=4，
則數(shù)列{a_n+2ⁿ}是以a₁+2¹=4為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
則有a_n+2ⁿ=4•3^n-1，
則a_n=4•3^n-1-2ⁿ，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=4•3^n-1-2ⁿ．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，關(guān)鍵是對數(shù)列的遞推公式進(jìn)行變形，分析數(shù)列{a_n+2ⁿ}是等比數(shù)列．