Question

20．設拋物線C₁：y²=2x與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦點重合，且雙曲線C₂的漸近線為$y=±\sqrt{3}x$，則雙曲線C₂的實軸長為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點，可得c=$\frac{1}{2}$，由漸近線方程可得 $\frac{a}$=$\sqrt{3}$，再由a，b，c的關系，可得a，進而得到實軸長2a．

解答 解：拋物線C₁：y²=2x的焦點為（$\frac{1}{2}$，0），
則雙曲線的c=$\frac{1}{2}$，
又漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，即有$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
由c²=a²+b²，解得a=$\frac{1}{4}$，
則實軸長為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質，考查雙曲線的漸近線方程和實軸的長，考查運算能力，屬于基礎題．