Question

已知正數(shù)x，y，z滿足：x≤y+z≤3x，4y²≤x（x+z）≤7y²，則

y-3z

x

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用換元法，將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用線性規(guī)劃的知識進行求解．

解答： 解：令

y

x

=a，

z

x

=b，
由x≤y+z≤3x，

y

x

+

z

x

≤3，
由4y²≤x（x+z）≤7y²，得4（

y

x

）²≤1+

z

x

≤7（

y

x

）²，
即

1≤a+b≤3 4a2-1≤b≤7a2-1

，
則問題等價為a，b滿足約束條件

1≤a+b≤3 4a2-1≤b≤7a2-1

，
求目標函數(shù)

y-3z

x

=a-3b=t的取值范圍，
根據(jù)線性規(guī)劃，作出對應(yīng)的圖象，
求出P（

33 -1

8

，

9- 33

8

），Q（

113 -1

14

，

43- 113

14

）
∴a-3b=t∈[

2 113 -65

7

，

33 -7

2

]，
故答案為：∈[

2 113 -65

7

，

33 -7

2

]

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵．本題難度較大，運算量較大．