Question

7．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF₂的中點(diǎn)，則$\frac{{{a^2}+{e^2}}}$（其中e為橢圓C的離心率）的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\frac{{3\sqrt{6}}}{4}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{{3\sqrt{5}}}{4}$

Answer 1

分析 如圖所示，由 切線的性質(zhì)可得：OQ⊥PF₂．又點(diǎn)O為線段F₁F₂的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理可得：OQ∥PF₁，PF₁⊥PF₂．再利用橢圓的定義、勾股定理可得（2b）²+（2a-2b）²=（2c）²，化為：b=$\frac{2a}{3}$．c²=a²-b²=$\frac{5}{9}{a}^{2}$．代入$\frac{{{a^2}+{e^2}}}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，由 切線的性質(zhì)可得：OQ⊥PF₂．
又點(diǎn)O為線段F₁F₂的中點(diǎn)，Q為線段PF₂的中點(diǎn)，
∴OQ∥PF₁，∴PF₁⊥PF₂．
∴|PF₁|=2|OQ|=2b，|PF₂|=2a-2b．
在Rt△PF₁F₂中，（2b）²+（2a-2b）²=（2c）²，
化為：b²+（a-b）²=c²=a²-b²，
化為：b=$\frac{2a}{3}$．
∴c²=a²-b²=${a}^{2}-（\frac{2a}{3}）^{2}$=$\frac{5}{9}{a}^{2}$．
∴$\frac{{{a^2}+{e^2}}}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{a}^{4}+\frac{5}{9}{a}^{2}}{{a}^{2}×\frac{2a}{3}}$=$\frac{9{a}^{2}+5}{6a}$≥$\frac{2\sqrt{9{a}^{2}•5}}{6a}$=$\sqrt{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)a²=$\frac{5}{9}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{{{a^2}+{e^2}}}$（其中e為橢圓C的離心率）的最小值為$\sqrt{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．