Question

19．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)）．若不等式f（x）≥2ax+b的解集為R，則$\frac{b^2}{{{a^2}+{c^2}}}$的最大值為2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式恒大于等于0，求出c≥a，令c=ka（k＞1），再根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出代數(shù)式的最大值即可．

解答 解：ax²+（b-2a）x+c-b≥0（a＞0），
△=（b-2a）²-4a（c-b）≤0，
即b²+4a²-4ac≤0，b²≤4ac-4a²，
∴$\frac{b^2}{{{a^2}+{c^2}}}≤\frac{{4ac-4{a^2}}}{{{a^2}+{c^2}}}$4ac-4a²≤b²，
∴c≥a，
求最大值、不妨令c=ka（k＞1）
∴$\frac{{4ac-4{a^2}}}{{{a^2}+{c^2}}}=\frac{{4k{a^2}-4{a^2}}}{{{k^2}{a^2}+{a^2}}}=4\frac{k-1}{{{k^2}+1}}（k＞1）$
令k-1=t，$\frac{{4ac-4{a^2}}}{{{a^2}+{c^2}}}=4\frac{t}{{{{（t+1）}^2}+1}}=4\frac{1}{{t+\frac{2}{t}+2}}≤\frac{4}{{2\sqrt{2}+2}}=2\sqrt{2}-2$
即$\frac{b^2}{{{a^2}+{c^2}}}≤2\sqrt{2}-2$，
故答案為：2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查基本不等式的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．