Question

16．在銳角△ABC中，2asinB=b．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）求$\sqrt{3}$sinB-cos（C+$\frac{π}{6}$）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，根據(jù)sinB不為0得出sinA的值，由A為銳角三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．
（Ⅱ）先化簡，再求出角C的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可求出

解答 解：（Ⅰ）利用正弦定理化簡b=2asinB，得：sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∵A為銳角，
∴A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）∵$\sqrt{3}sinB-cos（C+\frac{π}{6}）$=$\sqrt{3}$sin（$\frac{5π}{6}$-C）-cos（C+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（C+$\frac{π}{6}$）-cos（C+$\frac{π}{6}$）=2sinC，
又∵A=$\frac{π}{6}$，△ABC為銳角三角形，可得：$\frac{π}{3}$＜C＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sinC＜1，
∴$\sqrt{3}sinB-cos（C+\frac{π}{6}）$=2sinC∈（$\sqrt{3}$，2）．

點評 此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．