Question

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，且同時滿足以下條件：

①在D上是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)；

②存在閉區(qū)間 D(其中)，使得當(dāng)時，的取值集合也是．那么，我們稱函數(shù) ()是閉函數(shù)．

(1)判斷是不是閉函數(shù)？若是，找出條件②中的區(qū)間；若不是，說明理由．

(2)若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（注：本題求解中涉及的函數(shù)單調(diào)性不用證明，直接指出是增函數(shù)還是減函數(shù)即可）

Answer 1

【答案】（1）是閉函數(shù)，存在區(qū)間 （2）

【解析】

(1)由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到區(qū)間端點(diǎn)的方程組，求解方程組即可確定滿足題意的區(qū)間；

(2)由題意利用換元法將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在兩個不相等的非負(fù)實(shí)根的問題，據(jù)此得到關(guān)于k的不等式組，求解不等式組即可求得最終結(jié)果.

(1)f(x)＝－x3在R上是減函數(shù)，滿足①；

設(shè)存在區(qū)間，f(x)的取值集合也是，則，

解得a＝－1，b＝1，所以存在區(qū)間[－1,1]滿足②，

使得f(x)＝－x3(x∈R)是閉函數(shù).

(2) 是在[－2，＋∞)上的增函數(shù)，

由題意知，是閉函數(shù)，存在區(qū)間滿足②

即：.即a，b是方程的兩根，

令 ，方程可變形為，該方程存在兩相異實(shí)根滿足

，，解得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.