Question

11．設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_A，k_B，規(guī)定φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$（|AB|為線段AB的長度）叫做曲線y=f（x）在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”，給出以下命題：
①函數(shù)y=x³圖象上兩點(diǎn)A與B的橫坐標(biāo)分別為1和-1，則φ（A，B）=0；
②存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)；
③設(shè)點(diǎn)A，B是拋物線y=x²+1上不同的兩點(diǎn)，則φ（A，B）≤2；
④設(shè)曲線y=e^x（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則φ（A，B）＜1．
其中真命題的序號(hào)為①②③④．（將所有真命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 由新定義，利用導(dǎo)數(shù)逐一求出函數(shù)y=x³、y=x²+1在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”判斷①、③；舉例說明②正確；求出曲線y=e^x上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的“彎曲度”，然后結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可判斷④．

解答 解：對(duì)于①，由y=x³，得y′=3x²，
則k_A=3，k_B=3，則|k_A-k_B|=0，則φ（A，B）=0，故①正確；
對(duì)于②，如y=1時(shí)，y′=0，則φ（A，B）=0，故②正確；
對(duì)于③，拋物線y=x²+1的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，y_A=x_A²+1，y_B=x_B²+1，
y_A-y_B=x_A²-x_B²=（x_A-x_B）（x_A+x_B），
則φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$=$\frac{|2{x}_{A}-2{x}_{B}|}{\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}}}$≤2，故③正確；
對(duì)于④，由y=e^x，得y′=e^x，φ（A，B）=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$，
由不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得φ（A，B）＜$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{0+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$=1，
故④正確．
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了函數(shù)恒成立問題，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解．