Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+b，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，|f（x）|≤1恒成立，則2a+b的最大值為1．

Answer 1

分析 通過(guò)討論a的符號(hào)，得到f（x）的最小值和最大值，由恒成立思想可得a，b滿足的條件，作出可行域，從而求出2a+b的最大值即可．

解答 解：f（x）=ax²-2ax+b=a（x-1）²+b-a，
則函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，最值為b-a，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）圖象開(kāi)口向上，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最小值b-a，
當(dāng)x=3時(shí)取最大值3a+b，
由|f（x）|≤1恒成立，即-1≤f（x）≤1在[0，3]恒成立，
可得-1≤b-a，且3a+b≤1，且a＞0，
作出點(diǎn)（a，b）滿足的不等式組的可行域，如上圖．
則z=2a+b過(guò)點(diǎn)（0，1）時(shí)，取得最大值1；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）圖象開(kāi)口向下，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最大值b-a，
當(dāng)x=3時(shí)取最小值3a+b，
由|f（x）|≤1恒成立，即-1≤f（x）≤1在[0，3]恒成立，
可得-1≤3a+b，且-a+b≤1，且a＜0，
作出點(diǎn)（a，b）滿足的不等式組的可行域，如下圖．
則z=2a+b過(guò)點(diǎn)（0，1）時(shí)，取得最大值1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，注意運(yùn)用線性規(guī)劃求最值，是一道中檔題．