Question

已知過定點(diǎn)M（1，-1）的直線與拋物線y²=2x交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則該直線的方程為（　�。�

• A、y=-x
• B、y=2x-3
• C、y=3x-4
• D、y=x-2

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線AB的方程為：x-1=m（y+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．

解答： 解：設(shè)直線AB的方程為：x-1=m（y+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y2=2x x-1=m(y+1)

，化為y²-2my-2m-2=0．
△＞0，即4m²-4（-2m-2）＞0，化為m²+2m+2＞0（*）．
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2m-2．
∴x₁x₂=（my₁+m+1）（my₂+m+1）=m²y₁y₂+m（m+1）（y₁+y₂）+（m+1）²
=（-2m-2）m²+2m×m（m+1）+（m+1）²=m²+2m+1．
∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴m²+2m+1-2m-2=0．
化為m²=1，
解得m=±1．滿足（*）
但是當(dāng)m=-1直線方程為x+y=0時(shí)，與拋物線的有關(guān)交點(diǎn)為原點(diǎn)，不滿足OA⊥OB，應(yīng)該舍去．
∴該直線的方程為x-1=y+1，化為y=x-2．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．