Question

11．如果f[f（x）]=4x+6，且f（x）是遞增函數(shù)，則一次函數(shù)f（x）=2x+2．

Answer 1

分析 利用待定系數(shù)法求解該函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵．結(jié)合著復合函數(shù)表達式的求解，根據(jù)多項式相等即對應各項的系數(shù)相等得出關于一次項系數(shù)和常數(shù)項的方程組，通過方程思想求解出該函數(shù)的解析式．

解答 解：設f（x）=kx+b（k≠0），
則f[f（x）]=f（kx+b）=k（kx+b）+b=k²x+kb+b=4x+6，
根據(jù)多項式相等得出$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=4}\\{kb+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-6}\end{array}\right.$
∵f（x）是遞增函數(shù)，
∴所求的函數(shù)解析式為：f（x）=2x+2；
故答案為：2x+2．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解，考查確定函數(shù)解析式的待定系數(shù)法．學生只要設出一次函數(shù)的解析式的形式，尋找關于系數(shù)的方程或方程組，通過求解方程是不難求出該函數(shù)的解析式的．屬于函數(shù)中的基本題型．