Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx+a（1-x）
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）在（2，+∞）上為單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）結合（1）a≤0，符合題意，a＞0時，解不等式$\frac{1}{a}$≤2即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調遞增，
a＞0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減；
（2）若f（x）在（2，+∞）上為單調函數(shù)，
由（1）得：a≤0符合題意，
a＞0時，只需$\frac{1}{a}$≤2，解得：a≥$\frac{1}{2}$，
綜上a∈（-∞，0]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．