Question

若函數(shù)f（x）=sinωxcosωx-

3

sin²ωx+

3

2

（ω＞0）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與軸的交點，且△ABC為直角三角形．
（Ⅰ）求ω的值及f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）的圖象與f（x）的圖象與關(guān)于點（-

1

3

，0）對稱，且對一切x∈R，恒有m²+[g（x）]²＞4[m+g（-x）]成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)恒成立問題,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，利用周期公式求得ω，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinωxcosωx-

3

sin²ωx+

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx
=sin（2ωx+

π

3

），
∴f（x）_max=1，

T

2

=2，T=4，
由

T

2ω

=4，
∴ω=

π

4

∴f（x）=sin（

π

2

x+

π

3

），
其遞增區(qū)間滿足：-

π

2

+2kπ≤

π

2

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k-

5

3

，4k+

1

3

]，k∈Z．
（Ⅱ）由已知g（x）=-f（-

2

3

-x）=-sin[

π

2

（-

2

3

-x）+

π

3

]=sin

π

2

x，
由 m²+[g（x）]²＞4[m+g（-x）]，得m²-4m＞-[g（x）]²+4g（-x），
設(shè)t=-[g（x）]²+4g（-x）=sin²

π

2

x+4sin[

π

2

（-x）]=-sin²

π

2

x-4sin

π

2

x=-（sin

π

2

x+2）²+4，
∵x∈R，
∴sin

π

2

x=-1時，t有最大值，且t_max=-1+4=3，
∴m²-4m＞3，即m²-4m-3＞0，
解得m＜2-

7

或m＞2+

7

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，運用了函數(shù)的思想及轉(zhuǎn)化與化歸的思想．