Question

已知圓O的方程為x²+y²=4．
（1）求過點P（1，2）且與圓O相切的直線l的方程；
（2）直線m過點P（1，2），且與圓O交于A、B兩點，若|AB|=2

3

，求直線m的方程；
（3）圓O上有一動點M（x₀，y₀），

ON

=(2x0，y0)，若向量

OQ

=2

OM

+

1

2

ON

，求動點Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓的位置關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出過點P（1，2）的直線方程，利用直線與圓O相切的推出關系式，即可求出直線方程；
（2）通過直線m與x軸垂直，與不垂直，兩種情況，利用圓心距半徑半弦長關系，即可求直線m的方程；
（3）設Q點的坐標為（x，y），圓O上有一動點M（x₀，y₀），通過

ON

=(2x0，y0)，以及

OQ

=2

OM

+

1

2

ON

，得到Q，M點的關系，通過M在圓上，即可求動點Q的軌跡方程，然后說明此軌跡是橢圓．

解答： 解�。�1）顯然直線l的斜率存在，設切線方程為y-2=k（x-1），
則由

|2-k|

k2+1

=2，得k₁=0，k₂=-

4

3

，
從而所求的切線方程為y=2和4x+3y-10=0．
（2）當直線m垂直于x軸時，此時直線方程為x=1，m與圓的兩個交點坐標為（1，

3

）和
（1，-

3

），這兩點的距離為2

3

，滿足題意；當直線m不垂直于x軸時，設其方程為
y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，設圓心到此直線的距離為d（d＞0），
則2

3

=2

4-d2

，得d=1，從而1=

|-k+2|

k2+1

，得k=

3

4

，此時直線方程為3x-4y+5=0，綜上所述，所求直線m的方程為3x-4y+5=0或x=1．
（3）設Q點的坐標為（x，y），M點坐標是（x₀，y₀），

ON

=（2x₀，y₀），
∵

OQ

=2

OM

+

1

2

ON

，
∴(x，y)=(2x0，2y0)+(x0，

1

2

y0)=(3x0，

5

2

y0)⇒x0=

1

3

x，y0=

2

5

y
．∵x₀²+y₀²=4，∴(

1

3

x)2+(

2

5

y)2=4，即

x2

36

+

y2

25

=1．
∴Q點的軌跡方程是

x2

36

+

y2

25

=1，軌跡是一個焦點在x軸上的橢圓．

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線與圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．