Question

10．用一邊長為1米，另一邊長為a（0＜a≤1）米的矩形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個長為x的小正方形，然后把四邊翻折90°角，再焊接而成，設(shè)該容器的容積為f（x）．
（1）求f（x）的表達式，并寫出它的定義域；
（2）求容器的容積的最值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由長方體的體積計算公式能求出f（x）的表達式和它的定義域．
（2）求出f′（x）=12x²-（4a+4）x+a，利用導數(shù)的性質(zhì)能求出容器的容積的最大值．

解答 解：（1）由題意得：
f（x）=（1-2x）（a-2x）x=4x³-（2a+2）x²+ax，
且滿足$\left\{\begin{array}{l}{1-2x＞0}\\{a-2x＞0}\\{0＜a≤1}\\{x＞0}\end{array}\right.$，解得0＜x＜$\frac{a}{2}$．
∴f（x）的表達式為f（x）=4x³-（2a+2）x²+ax，它的定義域為（0，$\frac{a}{2}$）．
（2）∵f（x）=4x³-（2a+2）x²+ax，x∈（0，$\frac{a}{2}$）．
∴f′（x）=12x²-（4a+4）x+a，
由f′（x）=0，得x=$\frac{a+1+\sqrt{{a}^{2}-a+1}}{6}$，或x=$\frac{a+1-\sqrt{{a}^{2}-a+1}}{6}$
∵0＜a≤1，∴當a=1時，容器的容積取最大值，
由f′（x）=0，得x=$\frac{1+1+\sqrt{{1}^{2}-1+1}}{6}$=$\frac{1}{2}$（舍），或x=$\frac{1+1-\sqrt{{1}^{2}-1+1}}{6}$=$\frac{1}{6}$，
當x∈（0，$\frac{1}{6}$）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當x∈（$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴容器的容積的最大值為：
f（x）_max=f（$\frac{1}{6}$）=4×（$\frac{1}{6}$）³-4×（$\frac{1}{6}$）²+1×$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{27}$．

點評 本題考查函數(shù)的表達式及其定義域的求法，考查容器的體積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．