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14.已知13≤a≤1,若函數(shù)  f(x)=ax2-2x+1在區(qū)間[1,3]上的最大值為M(a),最小值為N(a),令g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)寫(xiě)出函數(shù)g(a)單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間(不必證明),并求出g(a)的最小值.

分析 (1)首先判斷出函數(shù)f(x)=ax2-2x+1在區(qū)間[1,3]上為單調(diào)減函數(shù),然后求出M(a)、N(a),進(jìn)而求出g(a)的表達(dá)式即可;
(2)由一次函數(shù)的性質(zhì)知,g(a)=-8a+4在區(qū)間(0,13]單調(diào)減,a為12時(shí),g(a)取最小值,代入求解即可.

解答 解:(1)∵13a1,
∴f(x)的圖象為開(kāi)口向上的拋物線,且對(duì)稱軸x=1a[13]
∴f(x)有最小值Na=11a
當(dāng)2≤1a≤3時(shí),a∈[1312]fx有最大值M(a)=f(1)=a-1;     
當(dāng)1≤1a<2時(shí),a∈(121]fx有最大值M(a)=f(3)=9a-5;     
ga={a2+1a13a129a6+1a12a1.
(2)設(shè)13a1a212,
則 ga1ga2=a1a211a1a20,
∴g(a1)>g(a2),
ga[1312]上是減函數(shù).
設(shè)12a1a21,
ga1ga2=a1a291a1a20,
∴g(a1)<g(a2),
∴g(a)在(12,1]上是增函數(shù)
∴當(dāng)a=12時(shí),g(a)有最小值12

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)用,考查了函數(shù)的表達(dá)式以及最值的求法,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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