Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E為PD中點(diǎn)．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求三棱錐P-ACE的體積；
（3）求直線AC與平面PCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥平面PAB，可得BC⊥PA．同理CD⊥PA，即可證明PA⊥平面ABCD；
（2）利用三棱錐P-ACE的體積V=V_P-ACD-V_E-ACD，即可求三棱錐P-ACE的體積；
（3）證明∠ACE就是直線AC與平面PCD所成的角，即可求直線AC與平面PCD所成的角．

解答 （1）證明：∵底面ABCD為正方形，∴BC⊥AB，
又BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．
同理CD⊥PA，
∵BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．…（4分）
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中點(diǎn)，
∴E到平面ACD的距離h=1，
S_△ACD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱錐P-ACE的體積V=V_P-ACD-V_E-ACD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×2×2×2$-$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$…（8分）
（3）解：∵PA⊥平⊥面ABCD，∴PA⊥CD∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE
∵PA=AD，E是PD的中點(diǎn)，∴PD⊥AE∴AE⊥平面PCD，
∴∠ACE就是直線AC與平面PCD所成的角，
AE=$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{2}$∴∠ACE=30°…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐P-ACE的體積的求法，考查線面角，注意空間思維能力的培養(yǎng)．屬于中檔題．