Question

已知奇函數(shù)f（x）的定義域為R，當x≥0，f（x）=（

1

2

）^x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并判斷函數(shù)在R上的單調性（不需證明，只需給出結論）；
（2）對于函數(shù)f（x）是否存在實數(shù)m，使f（2m-mcosθ）+f（-1-sin²θ）＜f（0）對所有θ∈[0，

π

2

]都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用奇偶性求得f（x）=

1 2x -1，x≥0 1-2x，x＜0

；
（2）化恒成立問題為最值問題．

解答： 解：（1）當x＜0時，-x＞0；
故f（x）=-f（-x）
=-（2^x-1）
=1-2^x；
故f（x）=

1 2x -1，x≥0 1-2x，x＜0

；
函數(shù)在R上單調遞減；
（2）f（2m-mcosθ）+f（-1-sin²θ）＜f（0），
即f（2m-mcosθ）＜f（1+sin²θ），
即2m-mcosθ＞1+sin²θ；
即m＞

1+sin2θ

2-cosθ

=

2-cos2θ

2-cosθ

，
令t=2-cosθ，則t∈[1，2]；
h（t）=4-（t+

2

t

）；
故當t=

2

時，h_min（t）=4-2

2

；
故m＞4-2

2

．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與恒成立問題的應用，屬于中檔題．