Question

1．已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)M（2，0），且被y軸截得的線段長為4，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）問：x軸上是否存在一定點(diǎn)P，使得對于曲線C上的任意兩點(diǎn)A和B，當(dāng)$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R）時(shí)，恒有△PAM與△PBM的面積之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$？若存在，則求P點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為C（x，y），由題意可得：2²+|x|²=（x-2）²+y²，化簡整理即可得出．
（2）設(shè)P（a，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R），可知：M，A，B三點(diǎn)共線，設(shè)直線AB的方程為：x=my+2，代入拋物線方程可得：y²-4my-8=0..由△PAM與△PBM的面積之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$，可得：PM平分∠APB，因此直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，即k_PA+k_PB=0，利用斜率計(jì)算公式、根與系數(shù)的關(guān)系化簡即可得出．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為C（x，y），由題意可得：2²+|x|²=（x-2）²+y²，化為：y²=4x．
∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：y²=4x．
（2）設(shè)P（a，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R），可知：M，A，B三點(diǎn)共線．
設(shè)直線AB的方程為：x=my+2，代入拋物線方程可得：y²-4my-8=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8．由△PAM與△PBM的面積之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$，可得：PM平分∠APB，
因此直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，
∴k_PA+k_PB=0，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=0，
把x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入可得：$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（2-a）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（m{y}_{1}+2-a）（m{y}_{2}+2-a）}$=0，
∴-16m+（2-a）×4m=0，化為：m（a+2）=0，由于對于任意m都成立，∴a=-2．
故存在定點(diǎn)（-2，0），滿足條件．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、角平分線的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．