Question

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+

π

6

)+sin(ωx-

π

6

)-2cos2

ωx

2

，x∈R（其中ω＞0）
（I）求函數(shù)f（x）的值域；
（II）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為

π

2

，求函數(shù)y=f（x）的單調增區(qū)間．
（Ⅲ）設g（x）=-4cos²x-sinx+m，若對任意x₁∈R，總是存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≥g（x₂），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：綜合題,壓軸題,函數(shù)的性質及應用

分析：（I）利用兩角和與差的正弦函數(shù)、二倍角公式化簡不等式，然后利用兩角和化簡函數(shù)為2sin（ωx-

π

6

）-1，解好正弦函數(shù)的有界性，求函數(shù)f（x）的值域；
（II）利用函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為

π

2

，求出周期，求出ω，利用正弦函數(shù)的單調增區(qū)間，求函出數(shù)y=f（x）的單調增區(qū)間．
（Ⅲ）若對任意x₁∈R，總是存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≥g（x₂），知f（x₁）_min≥g（x₂）_min，由此能求出m的取值范圍．

解答： 解：（I）∵f（x）=2sinωx-（1+cosωx）=2sin（ωx-

π

6

）-1，
∵sin（ωx-

π

6

）∈[-1，1]，
∴f（x）的值域是：[-3，1]，
（II）由題設條件及三角函數(shù)圖象和性質可知，y=f（x）的周期為π，
又由ω＞0，得

2π

ω

，即得ω=2．
于是有f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，
再由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
所以y=f（x）的單調增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z），
（Ⅲ）∵對任意x₁∈R，總是存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≥g（x₂），
∴f（x₁）_min≥g（x₂）_min，
∵f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，g（x）=-4cos²x-sinx+m=4sin²x-sinx+m-4=4（sinx-

1

8

）²+m-

65

16

，
∵x₂∈[0，

π

2

]，
∴sinx₂∈[0，1]，
∴g（x）_min=m-

256

64

，
∵f（x₁）_min=-3，
∴-3≥m-

256

64

，
∴可解得：m≤1．

點評：本小題主要考查函數(shù)恒成立問題的應用，解題時要認真審題，考查三角函數(shù)公式，三角函數(shù)圖象和性質等基礎知識，考查綜合運用三角函數(shù)有關知識的能力，屬于�？碱}，屬于中檔題．