Question

13．設向量$\overrightarrow{a}$=（4sin$\frac{ω}{2}$x，1），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$cos$\frac{ω}{2}$x，-1）（ω＞0），若函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1在區(qū)間[-$\frac{π}{5}$，$\frac{π}{4}$]上單調遞增，則實數ω的取值范圍為（0，2]．

Answer 1

分析 化簡f（x）=sinωx，根據正弦函數的單調性得出f（x）的單調增區(qū)間，從而列出不等式解出ω的范圍．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1=2sin$\frac{ω}{2}$xcos$\frac{ω}{2}$x=sinωx，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤ωx≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$≤x≤$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$，k∈Z，
∵ω＞0，
∴f（x）的一個單調增區(qū)間為[-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{4}≤\frac{π}{2ω}}\\{-\frac{π}{5}≥-\frac{π}{2ω}}\end{array}\right.$，解得0＜ω≤2．
故答案為（0，2]．

點評 本題考查了三角函數的恒等變換，正弦函數的圖象與性質，屬于中檔題．