Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線與直線y-3x=0平行，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)t≥1時，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）${f^/}（x）=2x+2+\frac{a}{x}$，（x＞0）．由f′（1）=3，解得a．
（Ⅱ）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化為2t²-4t+2≥alnt²-aln（2t-1），即2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1），
令h（x）=2x-alnx（x≥1），則問題可化為h（t²）≥h（2t-1）．由t≥1，可得t²≥2t-1．要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函數(shù)即可．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）${f^/}（x）=2x+2+\frac{a}{x}$，（x＞0）．
則f′（1）=4+a=3，解得a=-1．
（Ⅱ）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化為2t²-4t+2≥alnt²-aln（2t-1），
∴2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1），
令h（x）=2x-alnx（x≥1），則問題可化為h（t²）≥h（2t-1）．
∵t≥1，∴t²≥2t-1．
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函數(shù)即可．
即${h^/}（x）=2-\frac{a}{x}≥0$在[1，+∞）上恒成立，即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，
解得a≤2．
則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、等價轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．