Question

17．交強(qiáng)險是車主必須為機(jī)動車購買的險種．若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實(shí)行的是費(fèi)率浮動機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動情況如表：

交強(qiáng)險浮動因素和浮動費(fèi)率比率表
	浮動因素	浮動比率
A1	上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故	下浮10%
A2	上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故	下浮20%
A3	上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故	下浮30%
A4	上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故	0%
A5	上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故	上浮10%
A6	上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故	上浮30%

某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：

類型	A1	A2	A3	A4	A5	A6
數(shù)量	10	5	5	20	15	5

以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：
（Ⅰ）按照我國《機(jī)動車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險條例》汽車交強(qiáng)險價格的規(guī)定a=950．記X為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費(fèi)用，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值；（數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字）
（Ⅱ）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車．假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：
①若該銷售商購進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；
②若該銷售商一次購進(jìn)100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知其概率及其分布列．
（II）①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為$\frac{1}{3}$，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P=$（1-\frac{1}{3}）^{3}$+${∁}_{3}^{1}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}$．
②設(shè)Y為該銷售商購進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為-5000，10000．即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．…（2分）
由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知：
P（X=0.9a）=$\frac{1}{6}$，P（X=0.8a）=$\frac{1}{12}$，P（X=0.7a）=$\frac{1}{12}$，P（X=a）=$\frac{1}{3}$，P（X=1.1a）=$\frac{1}{4}$，
P（X=1.3a）=$\frac{1}{12}$．
所以X的分布列為：

X	0.9a	0.8a	0.7a	a	1.1a	1.3a
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{12}$

…（4分）
所以EX=0.9a×$\frac{1}{6}$+0.8a×$\frac{1}{12}$+0.7a×$\frac{1}{12}$+a×$\frac{1}{3}$+1.1a×$\frac{1}{4}$+1.3a×$\frac{1}{12}$=$\frac{11.9a}{12}$=$\frac{11305}{12}$≈942．（5分）
（Ⅱ） ①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為$\frac{1}{3}$，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P=$（1-\frac{1}{3}）^{3}$+${∁}_{3}^{1}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{20}{27}$．…（8分）
②設(shè)Y為該銷售商購進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為-5000，10000．
所以Y的分布列為：

Y	-5000	10000
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$

所以EY=-5000×$\frac{1}{3}$+10000×$\frac{2}{3}$=5000．…（10分）
所以該銷售商一次購進(jìn)100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為100EY=50萬元．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、相互獨(dú)立與互斥事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．