Question

14．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≤0}\\{x-y-1≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，則$\frac{y+1}{x}$的取值范圍是[1，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線斜率的幾何意義進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，$\frac{y+1}{x}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D（0，-1）的斜率，
由圖象知，AD的斜率最大，
BD的斜率最小，此時最小值為1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即A（1，$\frac{3}{2}$），
此時AD的斜率k=$\frac{\frac{3}{2}+1}{1}$=$\frac{5}{2}$，
即1≤$\frac{y+1}{x}$≤$\frac{5}{2}$，
故$\frac{y+1}{x}$的取值范圍是[1，$\frac{5}{2}$]
故答案為：[1，$\frac{5}{2}$]

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及直線斜率的求解，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．