Question

19．設函數(shù)f（x）=lg（1-|x|）+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，則使得f（2x+1）≥f（x）成立的x的取值范圍是（-1，-$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 由題知此函數(shù)為偶函數(shù)，通過（0，+∞）的單調(diào)性將不等式問題轉化為距離問題，直接解不等式，注意函數(shù)定義域．

解答 解：由題知f（x）為偶函數(shù)，f（|2x+1|）≥f（|x|），
又因為f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞減的，所以|2x+1|≤|x|，解得$-1≤x≤-\frac{1}{3}$
又因為f（x）的定義域為1-|x|＞0，即（-1，1），
所以x的取值范圍是$（-1，-\frac{1}{3}]$，
故答案為：$（-1，-\frac{1}{3}]$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應用，屬于中檔題．