Question

19．設動點P在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線BD₁上，記$\frac{{{D_1}P}}{{{D_1}B}}$=λ．當∠APC為銳角時，λ的取值范圍是$[{0，\frac{1}{3}}）$．

Answer 1

分析 ∠APC為銳角等價于cos∠APC＞0，等價于$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$＞0，根據向量數量積的坐標運算即可．

解答 解：由題設可知，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（1，1，-1），得$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（λ，λ，-λ），
所以$\overrightarrow{PA}$=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1），
$\overrightarrow{PC}$=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1），
所以∠APC為銳角等價于cos∠APC＞0，
則等價于$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$＞0，
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＞0，
∵0≤λ＜1，∴，0≤λ＜$\frac{1}{3}$
因此，λ的取值范圍是$[{0，\frac{1}{3}}）$，
故答案為$[{0，\frac{1}{3}}）$．

點評 本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．