Question

17．在若數(shù)列{a_n}中，若a_n=$|\begin{array}{l}{\frac{1}{n}}&{\frac{1}{2}}\\{2}&{\frac{1}{n+1}}\end{array}|$，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$-\frac{{n}^{2}}{n+1}$．

Answer 1

分析 由已知寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答 解：∵a_n=$|\begin{array}{l}{\frac{1}{n}}&{\frac{1}{2}}\\{2}&{\frac{1}{n+1}}\end{array}|$=$\frac{1}{n（n+1）}-1$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-1$，
∴${S}_{n}=（1-\frac{1}{2}-1）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-1）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-1）$
=$（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）-n$=$1-\frac{1}{n+1}-n=\frac{n+1-1-{n}^{2}-n}{n+1}=-\frac{{n}^{2}}{n+1}$．
故答案為：$-\frac{{n}^{2}}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．