Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M（-2，1），則直線l的斜率為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12，列出方程組求出a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，從而得到橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，再由直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M（-2，1），利用點(diǎn)差法能求出直線l的斜率．

解答 解：∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2ab=12}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∵直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M（-2，1），
∴設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
又$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，兩式相減，得：$\frac{1}{12}$（x₁-x₂）（x₁+x₂）+$\frac{1}{3}$（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴-$\frac{1}{3}$（x₁-x₂）+$\frac{2}{3}$（y₁-y₂）=0，
∴直線l的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．