Question

6．函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}}$），g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}}$）-2m+3＞0，m＞0，對(duì)任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[{1，\frac{4}{3}}]$．

Answer 1

分析 先分別確定函數(shù)的值域，再利用任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，使得f（x₁）=g（x₂）建立不等式，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍

解答 解：由題意：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}}$），
當(dāng)x₂∈[0，$\frac{π}{4}}$]時(shí)，
則有：2x₂+$\frac{π}{3}}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
當(dāng)2x₂+$\frac{π}{3}}$）=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2，
當(dāng)2x₂+$\frac{π}{3}}$）=$\frac{5π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值值為1，
所以：對(duì)于x₂∈[0，$\frac{π}{4}}$]，f（x）的值域?yàn)閇1，2]．
函數(shù)g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}}$）-2m+3，m＞0，
當(dāng)x₁∈[0，$\frac{π}{4}}$]時(shí)，
則有：2x₁-$\frac{π}{6}}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
當(dāng)2x₁-$\frac{π}{6}}$=$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值為：$-\frac{3}{2}$m+3．
當(dāng)2x₁-$\frac{π}{6}}$=0時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值為：-m+3．
所以：對(duì)于x₁∈[0，$\frac{π}{4}}$]，g（x）的值域?yàn)閇$-\frac{3}{2}$m+3，-m+3]．
任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，則有：[$-\frac{3}{2}$m+3，-m+3]⊆[1，2]．
即：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}m+3≥1}\\{-m+3≤2}\end{array}\right.$
解得：1$≤m≤\frac{4}{3}$
故答案為$[{1，\frac{4}{3}}]$

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求函數(shù)的值域是關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．