Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²-bx．
（1）當a＞0，b=0時，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上零點的個數(shù)；
（2）證明：當b=a=1，x∈[$\frac{1}{2}$，1]時，f（x）＜1．

Answer 1

分析 （1）通過轉(zhuǎn)化，問題即求方程e^x=ax²根的個數(shù)，通過令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，求導、結(jié)合單調(diào)性可知h（x）∈（$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞），結(jié)合圖象即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)h（x）=e^x-x²-x-1，令m（x）=h′（x）=e^x-2x-1，通過m′（x）=e^x-2，利用導數(shù)可知當$x∈[\frac{1}{2}，1]$時恒有m（x）＜0，從而h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上為減函數(shù)，計算即得結(jié)論．

解答 （1）解：當x＞0，a＞0，b=0時，函數(shù)f（x）零點的個數(shù)即方程e^x=ax²根的個數(shù)．
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，則h′（x）=$\frac{x{e}^{x}（x-2）}{{x}^{4}}$，
則h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，這時h（x）∈（h（2），+∞）；
h（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，這時h（x）∈（h（2），+∞）．
所以h（2）是y=h（x）的極小值即最小值，即$h（2）=\frac{e^2}{4}$，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上零點的個數(shù)，討論如下：
當$a∈（0，\frac{e^2}{4}）$時，有0個公共點；
當$a=\frac{e^2}{4}$，有1個公共點；
當$a∈（\frac{e^2}{4}，+∞）$有2個公共點．
（2）證明：設(shè)h（x）=e^x-x²-x-1，則h′（x）=e^x-2x-1，
令m（x）=h′（x）=e^x-2x-1，則m′（x）=e^x-2，
因為$x∈（\frac{1}{2}，1]$，所以當$x∈[\frac{1}{2}，ln2）$時，m′（x）＜0，此時m（x）在$[\frac{1}{2}，ln2）$上是減函數(shù)，
當x∈（ln2，1）時，m′（x）＞0，此時m（x）在（ln2，1）上是增函數(shù)，
又$m（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-2＜0$，m（1）=e-3＜0，
所以當$x∈[\frac{1}{2}，1]$時，恒有m（x）＜0，即h′（x）＜0，所以h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$上為減函數(shù)，
所以$h（x）≤h（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-\frac{7}{4}＜0$，即當$x∈[\frac{1}{2}，1]$時，f（x）＜1．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．