Question

19．已知二次函數(shù)f₁（x）的圖象以原點為頂點且過點（1，1），反比例函數(shù)f₂（x）的圖象與直線y=x交于A、B兩點，且|AB|=8，f（x）=f₁（x）+f₂（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求證：當a＞3時，關(guān)于x的方程f（x）=f（a）共有三個實數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）由題意已知二次函數(shù)y=f₁（x）的圖象以原點為頂點且過點（1，1），設(shè)出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式．
（2）由已知f（x）=f（a），得：x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$，由方程根的思想得到三個根互不相等．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)f₁（x）=ax²+bx+c，
∵f（x）的圖象以原點為頂點∴b=0，c=0，
∵過點（1，1），∴a=1，
∴f（x）的解析式為f（x）=x²．
設(shè)f₂（x）=$\frac{k}{x}$（k＞0），它的圖象與直線y=x的交點分別為A（$\sqrt{k}$，$\sqrt{k}$），B（-$\sqrt{k}$，-$\sqrt{k}$），
由|AB|=8，得k=8，
∴f₂（x）=$\frac{8}{x}$，
故f（x）=x²+$\frac{8}{x}$．
（2）由f（x）=f（a），得x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$，即（x-a）（x+a-$\frac{8}{ax}$）=0，
得方程的一個解x₁=a，
方程x+a-$\frac{8}{ax}$=0化為ax²+a²x-8=0，
由a＞3，△=a⁴+32a＞0得x₂=$\frac{-{a}^{2}-\sqrt{{a}^{4}+32a}}{2a}$，x₃=$\frac{-{a}^{2}+\sqrt{{a}^{4}+32a}}{2a}$，
∵x₂＜0，x₃＞0，
∴x₁≠x₂，且x₂≠x₃，
若x₁=x₃，即a=$\frac{-{a}^{2}+\sqrt{{a}^{4}+32a}}{2a}$，則3a²=$\sqrt{{a}^{4}+32a}$，a⁴=4a，
得a=0或a=$\root{3}{4}$，這與a＞3矛盾，
∴x₁≠x₃，
故原方程f（x）=f（a）有三個實數(shù)解．

點評 此題考查了方程根的存在性及其個數(shù)的判斷，還考察了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，綜合比較強，難度較大．