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19.已知二次函數(shù)f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數(shù)f2(x)的圖象與直線y=x交于A、B兩點,且|AB|=8,f(x)=f1(x)+f2(x).
(1)求f(x)的解析式;
(2)求證:當a>3時,關(guān)于x的方程f(x)=f(a)共有三個實數(shù)根.

分析 (1)由題意已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),設(shè)出函數(shù)的解析式,然后根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式.
(2)由已知f(x)=f(a),得:x2+8x=a2+8a,由方程根的思想得到三個根互不相等.

解答 解:(1)設(shè)二次函數(shù)f1(x)=ax2+bx+c,
∵f(x)的圖象以原點為頂點∴b=0,c=0,
∵過點(1,1),∴a=1,
∴f(x)的解析式為f(x)=x2
設(shè)f2(x)=kx(k>0),它的圖象與直線y=x的交點分別為A(k,k),B(-k,-k),
由|AB|=8,得k=8,
∴f2(x)=8x,
故f(x)=x2+8x
(2)由f(x)=f(a),得x2+8x=a2+8a,即(x-a)(x+a-8ax)=0,
得方程的一個解x1=a,
方程x+a-8ax=0化為ax2+a2x-8=0,
由a>3,△=a4+32a>0得x2=a2a4+32a2a,x3=a2+a4+32a2a
∵x2<0,x3>0,
∴x1≠x2,且x2≠x3
若x1=x3,即a=a2+a4+32a2a,則3a2=a4+32a,a4=4a,
得a=0或a=\root{3}{4},這與a>3矛盾,
∴x1≠x3,
故原方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.

點評 此題考查了方程根的存在性及其個數(shù)的判斷,還考察了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,綜合比較強,難度較大.

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