Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=m+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=4cos（{θ-\frac{π}{6}}）$．
（1）寫出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P，Q分別在C₁，C₂上運(yùn)動(dòng)，若|PQ|的最小值為1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化方法，寫出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P，Q分別在C₁，C₂上運(yùn)動(dòng)，若|PQ|的最小值為1，可得$\frac{|2+m|}{2}$-2=1，即可求m的值．

解答 解：（1）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=4cos（{θ-\frac{π}{6}}）$，即$ρ=2\sqrt{3}cosθ+2sinθ$，
可得直角坐標(biāo)方程${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{3}x-2y=0$；
（2）${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{3}x-2y=0$化為（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4，
圓心坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1），半徑為2，
曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=m+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），普通方程為$\sqrt{3}x-y+m=0$，
∵|PQ|的最小值為1，
∴$\frac{|2+m|}{2}$-2=1，∴m=4或-8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．