Question

20．如圖，M是以A、B為焦點的雙曲線x²-y²=2右支上任一點，若點M到點C（3，1）與點B的距離之和為S，則S的取值范圍是（　�。�

• A． [$\sqrt{26}$+$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [$\sqrt{26}$-$2\sqrt{2}$，+∞）
• C． [$\sqrt{26}$-$2\sqrt{2}$，$\sqrt{26}$+$2\sqrt{2}$）
• D． [$\sqrt{26}$-$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求得雙曲線的焦點坐標，由雙曲線的定義可得|MA|-|MB|=2a=2$\sqrt{2}$，可得S=|MC|+|MB|=|MC|+|MA|-2$\sqrt{2}$，再由A，M，C三點共線時取得最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：雙曲線x²-y²=2即為
$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
可得A（-2，0），B（2，0），
由雙曲線的定義可得|MA|-|MB|=2a=2$\sqrt{2}$，
可得S=|MC|+|MB|=|MC|+|MA|-2$\sqrt{2}$
≥|AC|-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{26}$-2$\sqrt{2}$，
當且僅當A，M，C三點共線時，取得最小值$\sqrt{26}$-2$\sqrt{2}$，
則有S≥$\sqrt{26}$-2$\sqrt{2}$，
故選：B．

點評 本題考查距離之和的范圍的求法，注意運用雙曲線的定義，結合三點共線時取得最小值的性質，考查運算能力，屬于中檔題．