Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+blnx，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）對?x≥1，f（x）≤kx，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由切線的方程可得a，b的方程，解方程可得f（x）的解析式，求出導數(shù)，解不等式可得單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）對?x≥1，f（x）≤kx，即為$\frac{1}{x}$+2lnx≤kx，即k≥$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2lnx}{x}$對x≥1恒成立．設g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2lnx}{x}$，求出導數(shù)，設h（x）=x-1-xlnx（x≥1），求出導數(shù)，可得單調(diào)性，求得最大值，即可得到k的范圍．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+blnx的導數(shù)為f′（x）=$\frac{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為b-a，切點為（1，a），
由切線的方程y=x可得，b-a=1，a=1，
解得a=1，b=2，即有f（x）=$\frac{1}{x}$+2lnx，
可得f′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
當x＞$\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得f（x）的增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞），減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）；
f（x）的極小值為f（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2，無極大值；
（2）對?x≥1，f（x）≤kx，即為
$\frac{1}{x}$+2lnx≤kx，即k≥$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2lnx}{x}$對x≥1恒成立．
設g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2lnx}{x}$，可得g′（x）=$\frac{2（x-1-xlnx）}{{x}^{3}}$，
設h（x）=x-1-xlnx（x≥1），即有h′（x）=1-（1+lnx）=-lnx≤0，
可得h（x）在[1，+∞）遞減，可得h（x）≤h（1）=0，
即g′（x）≤0，可得g（x）在[1，+∞）遞減，可得g（x）在x=1處取得最大值1，
即有k≥1．即有k的范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和二次求導，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．