Question

8．點O是△ABC所在平面內的一點，滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，則點O是△ABC的（　�。�

• A． 三角形的內心
• B． 三角形的外心
• C． 三角形的重心
• D． 三角形的垂心

Answer 1

分析 根據(jù)條件即可得出$\overrightarrow{OB}⊥\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{OC}⊥\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{CB}$，從而得出O點為△ABC的垂心．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$
=$\overrightarrow{OB}•（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}）$
=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{CA}$
=0；
∴$\overrightarrow{OB}⊥\overrightarrow{CA}$；
同理，$\overrightarrow{OC}⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{CB}$；
∴O是△ABC三條高線的交點；
∴點O是△ABC的垂心．
故選：D．

點評 考查向量數(shù)量積的運算，向量減法的幾何意義，向量垂直的充要條件，三角形垂心的定義．