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11.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)經(jīng)過點(0,1),且圓x2+y2=a2被直線x-y-2=0截得的弦長為2
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知k≠0,動直線y=k(x-1)與橢圓C的兩個交點分別為A,B,問:在x軸上是否存在定點M,使得MAMB為定值?若存在,試求出點M的坐標(biāo)和定值;若不存在,請說明理由.

分析 (1)橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)經(jīng)過點(0,1),代入解得b=1.由于圓x2+y2=a2被直線x-y-2=0截得的弦長為2,可得2a2222=2,解得a2.即可得出.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,0).直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系代入MAMB=(x1-m)(x2-m)+y1y2=m2+k214m21+2k2,令1-4m=-4,即可得出.

解答 解:(1)∵橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)經(jīng)過點(0,1),∴0+12=1,解得b=1.
∵圓x2+y2=a2被直線x-y-2=0截得的弦長為2,∴2a2222=2,解得a2=2.
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,0).
聯(lián)立{y=kx1x22+y2=1,化為:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
∴x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k221+2k2
MAMB=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(k2+1)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k2
=k2+12k221+2k2-m+k2×4k21+2k2+m2+k2=m2+k214m21+2k2,
令1-4m=-4,即m=54時,MAMB=m2-2=-716為定值.
點M540

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運算性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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