Question

15．如圖，異面直線AB，CD互相垂直，CF是它們的公垂線段，且F為AB的中點，作DE$\stackrel{∥}{=}$CF，連接AC、BD，G為BD的中點，AB=AC=AE=BE=2．
（1）在平面ABE內是否存在一點H，使得AC∥GH？若存在，求出點H所在的位置，若不存在，請說明理由；
（2）求G-ACD的體積．

Answer 1

分析 （1）假設存在H使得AC∥GH，取BE的中點M，連結GM，MH，EF，則可證EF⊥平面GMH，BE⊥平面GMH，于是過點E有兩條直線與平面GMH垂直，得出矛盾；
（2）連結DF，過C作CN⊥DF，則可證CN⊥平面ABD，而S_△ADG=$\frac{1}{2}{S}_{△ABD}$，利用勾股定理解出CH，CD，DH，CN，于是V_G-ACD=V_C-ADG=$\frac{1}{3}{S}_{△ADG}•CN$．

解答 解：（1）平面ABE內不存在一點H，使得AC∥GH．
證明：反證法．
假設平面ABE內存在一點H，使得AC∥GH，取BE的中點M，連結GM，MH，EF．
∵DE$\stackrel{∥}{=}$CF，CD⊥CF，∴四邊形EFCD是矩形，
∴EF⊥CF，又EF⊥AB，EF?平面ABE，AB?平面ABE，EF∩AB=F，
∴CF⊥平面ABE，
∵AB=AE=BE，F(xiàn)是AB的中點
∴EF⊥AB，又AB?平面ACF，CF?平面ACF，AB∩CF=F，
∴EF⊥平面ACF，∵AC?平面ACF，
∴EF⊥AC．∵AC∥GH，
∴EF⊥GH，
∵G，M分別是BD，BE的中點，∴GM∥ED，
又DE∥CF，∴GM∥CF，
∴GM⊥平面ABE，∵EF?平面ABE，
∴GM⊥EF，又GH?平面GMH，GM?平面GMH，GM∩GH=G，
∴EF⊥平面GMH，∵MH?平面GMH，
∴EF⊥MH，
∵△ABE是等邊三角形，M，F(xiàn)是BE，AB的中點，
∴H在線段AM上．
∴MH⊥BE，又GM⊥平面ABE，BE?平面ABE，
∴GM⊥BE．又GM?平面GMH，MH?平面GMH，GM∩GH=G，
∴BE⊥平面GMH．
于是過E點有兩條直線BE，EF都與平面GMH垂直，而這是不可能的
∴平面ABE內不存在一點H，使得AC∥GH．
（2）連結DF，過C作CN⊥DF，

∵AB⊥CF，AB⊥CD，CD?平面CDF，CF?平面CDF，CD∩CF=C，
∴AB⊥平面CDF，∵CN?平面CDF，
∴AB⊥CN，又CN⊥DF，AB?平面ABD，DF?平面ABD，AB∩DF=F，
∴CN⊥平面ABD．
∵AB=AE=AC=BE=2，∴DE=CF=$\sqrt{A{C}^{2}-A{F}^{2}}=\sqrt{3}$，CD=EF=$\sqrt{3}$，
∴DF=$\sqrt{2}CF$=$\sqrt{6}$．∴CN=$\frac{CD•CF}{DF}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∵G是BD的中點，∴S_△ADG=$\frac{1}{2}{S}_{△ABD}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴V_G-ACD=V_C-ADG=$\frac{1}{3}{S}_{△ADG}•CN$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，構造平面GMH得出矛盾是解題難點．