Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），圓Q：（x-2）²+（y-$\sqrt{2}$）²=2的圓心Q在橢圓C上，點(diǎn)P（0，$\sqrt{2}$）到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離為$\sqrt{6}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，且l₁交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，直線l₂交圓Q于C，D兩點(diǎn)，且M為CD的中點(diǎn)，求△MAB的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得圓Q的圓心，代入橢圓方程，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，解方程可得a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）討論兩直線的斜率不存在和為0，求得三角形MAB的面積為4；設(shè)直線y=kx+$\sqrt{2}$，代入圓Q的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，求得MP的長(zhǎng)，再由直線AB的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{2}$，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，由三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，由換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得面積的范圍．

解答 解：（1）圓Q：（x-2）²+（y-$\sqrt{2}$）²=2的圓心為（2，$\sqrt{2}$），
代入橢圓方程可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$=1，
由點(diǎn)P（0，$\sqrt{2}$）到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離為$\sqrt{6}$，即有$\sqrt{2+{c}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
解得c=2，即a²-b²=4，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）當(dāng)直線l₂：y=$\sqrt{2}$，代入圓的方程可得x=2±$\sqrt{2}$，
可得M的坐標(biāo)為（2，$\sqrt{2}$），又|AB|=4，
可得△MAB的面積為$\frac{1}{2}$×2×4=4；
設(shè)直線y=kx+$\sqrt{2}$，代入圓Q的方程可得，（1+k²）x²-4x+2=0，
可得中點(diǎn)M（$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}{k}^{2}+2k}{1+{k}^{2}}$），
|MP|=$\sqrt{\frac{4}{（1+{k}^{2}）^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
設(shè)直線AB的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{2}$，代入橢圓方程，可得：
（2+k²）x²-4$\sqrt{2}$kx-4k²=0，
設(shè)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{4\sqrt{2}k}{2+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-4{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
則|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{32{k}^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}+\frac{16{k}^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64+16{k}^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}}$，
可得△MAB的面積為S=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64+16{k}^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}}$
=4$\sqrt{\frac{4+{k}^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}}$，
設(shè)t=4+k²（5＞t＞4），可得$\frac{4+{k}^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{t}{（t-2）^{2}}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}-4}$＜$\frac{1}{4+\frac{4}{4}-4}$=1，
可得S＜4，
且S＞4$\sqrt{\frac{1}{5+\frac{4}{5}-4}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$
綜上可得，△MAB的面積的取值范圍是（$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，考查三角形的面積的范圍，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及三角形的面積公式，運(yùn)用換元法和函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．