Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，C的焦點到其漸近線的距離是$\sqrt{3}$，則雙曲線C的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，運用點到直線的距離公式，可得b，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得a，進而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由C的焦點（c，0）到其漸近線bx+ay=0的距離是$\sqrt{3}$，
可得$\frac{|bc+0|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b=$\sqrt{3}$，
由e=$\frac{c}{a}$=2，又c²=a²+b²，
解得a=1，c=2，
則雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案為：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用雙曲線的性質(zhì)：漸近線和離心率，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．