Question

18．設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）-f（x）＞0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由已知當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）-f（x）＞0成立，可判斷函數(shù)g（x）為增函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，而不等式f（x）＞0等價(jià)于xg（x）＞0，分類討論即可求出

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）-f（x）＞0，
即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）恒大于0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
∵f（x）為奇函數(shù)
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)
又∵g（-1）=$\frac{f（-1）}{-1}$=0，
∵f（x）＞0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，$\frac{f（x）}{x}$＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，$\frac{f（x）}{x}$＜0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0=g（1），當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＜0=g（-1），
∴x＞1或-1＜x＜0
故使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-1，0）∪（1，+∞），
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題．