Question

8．已知函數f（x）=xe^x與函數g（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax的圖象在點（0，0）處有相同的切線．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）-bg（x）（b∈R），求函數h（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導數以及f'（0）=1，求出g'（x）=x+a，g'（0）=a，利用f（x）與g（x）的圖象在（0，0）處有相同的切線，列出方程，即可求解a．
（Ⅱ）求出$h（x）=f（x）-bg（x）=x{e^x}-\frac{1}{2}b{x^2}-bx$，x∈[1，2]，求出h'（x），（1）當b≤0時判斷函數的單調性求出h（x）的最小值．   
（2）當b＞0時，由h'（x）=0得，x=lnb，通過①若lnb≤1，即0＜b≤e，②若1＜lnb＜2，即e＜b＜e²，③若lnb≥2，即b≥e²，分別求解函數的最小值即可．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）因為f'（x）=e^x+xe^x，所以f'（0）=1．…．（2分）
因為g'（x）=x+a，所以g'（0）=a．…．（4分）
因為f（x）與g（x）的圖象在（0，0）處有相同的切線，所以f'（0）=g'（0），所以a=1．…．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+x$，
令$h（x）=f（x）-bg（x）=x{e^x}-\frac{1}{2}b{x^2}-bx$，x∈[1，2]，
則h'（x）=e^x+xe^x-b（x+1）=（x+1）（e^x-b）．                          …．（6分）
（1）當b≤0時，?x∈[1，2]，h'（x）＞0，所以h（x）在[1，2]上是增函數，
故h（x）的最小值為$h（1）=e-\frac{3}{2}b$；                                      …．（7分）           
（2）當b＞0時，由h'（x）=0得，x=lnb，…．（8分）
①若lnb≤1，即0＜b≤e，則?x∈[1，2]，h'（x）＞0，所以h（x）在[1，2]上是增函數，
故h（x）的最小值為$h（1）=e-\frac{3}{2}b$．…．（9分）
②若1＜lnb＜2，即e＜b＜e²，則?x∈（1，lnb），h'（x）＜0，?x∈（lnb，2），h'（x）＞0，
所以h（x）在（1，lnb）上是減函數，在（lnb，2）上是增函數，
故h（x）的最小值為$h（lnb）=-\frac{1}{2}b{ln^2}b$；  …．（11分）
③若lnb≥2，即b≥e²，則?x∈[1，2]，h'（x）＜0，所以h（x）在[1，2]上是減函數，
故h（x）的最小值為h（2）=2e²-4b．…．（12分）
綜上所述，當b≤e時，h（x）的最小值為$h（1）=e-\frac{3}{2}b$，
當e＜b＜e²時，h（x）的最小值為$-\frac{1}{2}b{ln^2}b$，
當b≥e²時，h（x）的最小值為2e²-4b．…．（13分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的極值以及函數的最值的求法，考查分類討論思想轉化思想的應用，考查計算能力．